Sunday, December 25, 2011

Polynomial interpolation for powers of 2

Here is a nice little problem influenced by this post. For every nonnegative integer n let Pn(x) be the polynomial of degree n such that Pn(r) = 2r for r = 0, 1, ..., n. Then Pn(n+1) = 2n+1 − 1.

No doubt, this must be very well-known. The proof is one-line: clearly, Pn(x) = {x \choose 0} + {x \choose 1} + ... + {x \choose n}.

4 comments:

nieuwe_zijde said...

Nice, но вообще-то это наблюдение уже фигурировало там в комментариях.

avzel said...

Да, я уже и сам это заметил, и, как мне казалось, оставил там отклик - но видимо, мне это только показалось. Сейчас оставил. Наверняка, встречается еще в куче мест, я-то просто для памяти запостил - может, пригодится для студентов при обсуждении биномиальных коэффициентов.

rus4 said...
This comment has been removed by the author.
nieuwe_zijde said...

Вероятно, всё-таки не столь безнадёжными, как те, кто считает, что дальше идёт 17.